Question

线性代数正交性上的一个问题，急求解！！！

是introduction to linear algebra这本书上的 就麻省理工那个的第四版， 讲到正交性的时候 有一个概念：说任意X可被分解为一个行空间分量Xr和一个零空间分量Xn，然后AX=B事实上是AXr=b （因为AXn=0），我对这整句话都不理解，为什么他可以被分为A的行空间中... 是introduction to linear algebra这本书上的 就麻省理工那个的第四版， 讲到正交性的时候 有一个概念：说任意X可被分解为一个行空间分量Xr和一个零空间分量Xn，然后AX=B事实上是AXr=b （因为AXn=0），我对这整句话都不理解，为什么他可以被分为A的行空间中的分量和零空间中的分量？ 为什么列空间中的值可以有A和A自身行空间的某一向量的成积（Xr)得出？求解释啊！！！ 展开

Answer 1

假定A是C上的MxN矩阵,
A所有的行转置共轭之后(变成M个C^N中的列向量)可以张成C^N一个线性子空间V,
即所谓的行空间
而V在C^N中有一个唯一的正交补空间:
W={y:
对任何v∈V都有v^H*y=0}
W就是所谓的零空间{y:
Ay=0}
可以理解成W中的向量和V中的向量垂直
然后只要证明对C^N中的任何向量x,
存在唯一的v∈V和w∈W使得x=v+w就行了,
即V+W一定是C^N的一个直和分解
首先验证V和W的交集为{0},
因为对同时属于V和W的向量v,
有v^Hv=0.
另外,
由秩定理得dimV+dimW=N,
所以V+W是直和分解
由V的基{e_i}和W的基{f_i}和在一起构成C^N的一组基
x关于这组基有唯一的展开式,
截取关于e_i的部分作为v,
余下部分作为w即可
对于Ax=b,
可以写成Av+Aw=b,
而Aw=0,
所以就得到Av=b