Question

如何求y= lnx的反函数？

Answer 1

对于 y = shx 的反函数来说，y就是自变量，x就是函数了。
但人们习惯用y来表示函数，用x来表示自变量。

所以，先按照反函数中自变量和函数的表示方式，表达正函数。也就是在正函数 y = shx 中，把x,y互换。
就变成了
x = shy = [e^y - e^(-y)]/2。

在这个形式下，还是要发现 y 关于 x 的表达式。
所以，先令 u = e^y >0, [找到u 关于x的表达式]

x = [ u - 1/u ]/2

得到 u = u(x) = x + (x^2 + 1)^(1/2)
[另外一个解 u = x - (x^2 + 1)^(1/2) < 0,舍掉了 ]

再根据
u = e^y = x + (x^2 + 1)^(1/2)
解出，y 关于 x的表达式，
y = ln[x + (x^2 + 1)^(1/2)]
从而得到反函数
y = ln[x + (x^2 + 1)^(1/2)]