Question

高等数学 原函数和定积分的存在

高等数学 原函数和定积分的存在请问第二个和第四个怎么判断

Answer 1

关于定积分存在条件高等数学中没有给出完全的充分必要条件，只给出了几个简单的容易判别的充分条件，如果要充分必要条件要在学了实变函数之后才能给出，用测度论解决的，所以各位考非数学专业的同学只需记住高等数学教材上给出的几个充分条件就够了。原函数的存在条件要对导函数的性态有深入了解，例如导函数在定义域上不存在第一类间断点等。你给出和两个题，第一道，a答案中的函数在x=0处是连续的，所以函数在整个给定闭区间都是连续的，所以存在定积分，c答案在整个闭区间上只有两个第一类间断点，因此也存在定积分。第二道题中，a答案，利用洛必达法则容易判定其在x=0处连续，所以在给定的整个闭区间内都连续，所以存在原函数，c答案中的函数在x=0处右极限为负二分之一，左极限为正二分之一，函数值为0，所以x=0是第一类间断点，因此在给定区间内不存在原函数（因为导函数在定义域上是不能有第一类间断点的）。

Answer 2

我是去年考上的研究生，现在有点忘了。
原函数存在的条件应该是：1.函数连续
2.函数不连续，但是间断点是第二类间断点，而且间断点个数有限，那么函数可能存在原函数，比如说1/|X|。
定积分存在的条件应该是：1.函数连续
2.函数不连续，间断点为有限个第一类间断点。这个通过定积分的几何意义（画图）就可以证明。
很明显题中第二个和第四个在X=0处都不连续，第四个在X=0处的极限是震荡的，第二个的极限还有一点复杂，是一个∞×COS∞的形式，当1/X取到π/2的整数倍的时候极限是0，别的点是∞。2和4选项在X=0处的间断点都是第一类间断点，原函数不存在。