Question

数列求和1的立方+2的立方+3的立方+++一直加到N的立方结果是多少,怎样证明?

Answer 1

【1】1³=1
2³=(1+1)³=1+3+3+1
3³=(1+2)³=1+3×2²+3×2+2³
...
(1+n)³=1+3×n²+3×n+n³
两边相加
2³+3³+...+n³+(1+n)³=n+3(1+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+1+2³+3³+...+n³
整理得：
s=n(n+1)*(2n+1)/6
【2】设s=13+23+33+…+n3……………………………………………………….(1)
有s=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13……………………………………………...(2)
由(1)+
(2)得：2s=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13
=(n+1)(n2-n+1)
+
(n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)
+
(n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)
+
.
.
.
+
(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+
n2)
即2s=(
n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1)
-3(n-2)-…-n
(n-n+1)]
………………...(3)
由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/
6代入(2)得：
2s=(n+1)[2n(n+
1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2
(1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+
(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+…+(n-1)2+1
+2+…+
(n-1)]
……...(4)
由12+22+…+(n-1)2=
n(n+1)(2n+1)/6-n
2，1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：
2s=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2
=n2(n+1)2/2
即s=13+23+33+…+n3=
n2(n+1)2/4
望你采纳

Answer 2

1的立方=1
（1个奇数）
2的立方=3+5
（2个奇数）
3的立方=7+9+11
（3个奇数）
……
n的立方=（n的平方-n+1）+（n的平方-n+3）+……+（n的平方+n-1）
（n个奇数）
最后答案
[n(n+1)]^2/2