Question

二 求下列方程所确定的隐函数y=f(x)的导数:1. cosx+ye^x-xy=e ;

Answer 1

为了求解隐函数 y = f(x) 的导数，我们需要使用隐函数微分法。首先，我们对方程中的每一项求导，并在求导过程中将 y 视为 x 的函数（即 y = y(x)）。然后，我们可以求解关于 y'(x) 的方程，得到 y 关于 x 的导数。

给定方程：cos(x) + y * e^x - x * y = e

• 对每一项关于 x 求导:

• 对 cos(x) 求导，得到 -sin(x)

• 对 y * e^x 求导，使用乘积法则（u * v），得到 y' * e^x + y * e^x

• 对 x * y 求导，使用乘积法则（u * v），得到 y + x * y'

• 对 e 求导，得到 0（常数的导数为零）

现在我们得到了如下方程：

-sin(x) + y' * e^x + y * e^x - y - x * y' = 0

• 解关于 y'(x) 的方程:
  我们需要将包含 y'(x) 的项移到方程的一侧，将不包含 y'(x) 的项移到另一侧：

y' * e^x + x * y' = sin(x) - y * e^x + y

现在我们可以将 y'(x) 提取出来：

y'(x) * (e^x + x) = sin(x) - y * e^x + y

最后，我们可以得到 y'(x) 的解：

y'(x) = (sin(x) - y * e^x + y) / (e^x + x)

这就是隐函数 y = f(x) 的导数。