Question

高中数列难题,最好是综合的.

高中数列难题,最好是综合的.

Answer 1

〔例2〕已知Sn=1+
+…+
,(n∈N*)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的自然数n,不等式：f(n)＞〔logm(m－1)〕2－
〔log(m－1)m〕2恒成立.命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙.错解分析：本题学生很容易求f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理.技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数,此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于〔logm(m－1)〕2－
〔log(m－1)m〕2.∵Sn=1+
+…+
.(n∈N*)∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是关于n的增函数∴f(n)
min=f(2)=
∴要使一切大于1的自然数n,不等式f(n)＞〔logm(m－1)〕2－
〔log(m－1)m〕2恒成立只要
＞〔logm(m－1)〕2－
〔log(m－1)m〕2成立即可由
得m＞1且m≠2此时设〔logm(m－1)〕2=t
则t＞0于是
解得0＜t＜1由此得0＜〔logm(m－1)〕2＜1解得m＞
且m≠2.