Question

在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知a,b,c成等比数列，且cosB=3/4

1.1/tanA+1/tanC的值
2.设向量AB·向量BC=-3/2,求a+c的值

Answer 1

第一题：
a,b,c成等比数列,所以a*c=b^2
根据正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以sinA=a/b*sinB,sinC=c/b*sinC
1/tanA+1/tanC
=cotA+cotC
=cosA/sinA+cosC/sinC
=(cosA*sinC+sinA*cosC)/sinA*sinC
=sin(A+C)/[(a/b*sinB)*(c/b*sinC)]
=sinB/[(a/b*sinB)*(c/b*sinC)]
=1/sinB
=4/(根号7）

第二题：
a,b,c成等比数列,设公比为q,
则b=a*q,c=a*q^2
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2*a*c
=(a^2+a^2*q^4-a^2*q^2)/2*a*a*q^2
=(1+q^4-q^2)/2*q^2
=3/4
化简为：2*q^4-5*q^2+2=0
解得：并余q=1/（根号2）,或者q=根绝埋滚号2
向量BA点乘向量BC＝a*c*cosB=a*a*q^2*cosB=3/2
将cosB和q代入，
解得：a=2，此时q=1/液亏（根号2）,c=1,a+c=3
或者a=1，此时q=根号2,c=2,a+c=3

综合以上a+c=3