一道高数题求助

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SqSeSymbol
2021-05-28 · TA获得超过855个赞
知道小有建树答主
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换元x=tant就好了

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第二行右端少写了dx,见谅
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东方欲晓09
2021-05-29 · TA获得超过8625个赞
知道大有可为答主
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I = ∫x e^arctanx/(1+x^2)^(3/2) dx = x e^arctanx/√(1+x^2) - I
I = (1/2)x e^arctanx/√(1+x^2) + c
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wjl371116
2021-05-29 · 知道合伙人教育行家
wjl371116
知道合伙人教育行家
采纳数:15457 获赞数:67434

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∫[(xe^arctanx)/(1+x²)^(3/2)]dx【令arctanx=u,则x=tanu,dx=sec²udu】
=∫[(tanu)(e^u)/(1+tan²u)^(3/2)]sec²udu=∫[(tanu)(e^u)/secu]du
=∫(sinu)(e^u)du=∫sinud(e^u)=(sinu)(e^u)-∫(e^u)cosudu
=(sinu)(e^u)-∫(cosu)d(e^u)=(sinu)(e^u)-[(cosu)e^u+∫(e^u)sinudu]
=(sinu)(e^u)-(cosu)e^u-∫(e^u)sinudu;
移项得;2∫(sinu)(e^u)du=(sinu-cosu)e^u
∴原式=∫(sinu)(e^u)du=(1/2)(sinu-cosu)e^u+C
=(1/2)[x/√(1+x²)-1/√(1+x²)]e^(arctanx)+C
=(x-1)/[2√(1+x²)]e^(arctanx)+C;
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