Question

若不等式ax2≥lnx恒成立多种方法？

Answer 1

首先，不等式ax2 ≥ ln(x) 中 x 不能取0或负数，因为ln(x) 的定义域为正实数。
下面列举几种方式：
方式一：
因为x > 0，所以ln(x) > 0，所以不等式两边取指数，得到 e^(ax^2) ≥ x，即 ax^2 ≥ ln(x)，所以不等式成立的条件是 a ≥ 0。
方式二：
将不等式移项，得到ax^2 - ln(x) ≥ 0。这是一个关于 x 的二次函数，可以求出其根和开口方向，然后根据二次函数的性质判断不等式的取值范围。因为ln(x) 的导数小于 x 的导数，所以当x > 1 时，ax^2 - ln(x) 的导数大于 0，所以二次函数在 x > 1 时单调递增，当 x = 1 时取得最小值，所以不等式的解集为 x ∈ (0, 1] 或 x ≥ e^(1/2a)。
方式三：
将不等式两边同时除以 x2，得到 a ≥ ln(x) / x^2，此时考虑右边的函数 f(x) = ln(x) / x^2 的单调性。f'(x) = (2 - ln(x)) / x^3，所以当 x > e^2 时，f(x) 单调递减，此时 a ≥ f(e^2)，即 a ≥ 1 / e^2，所以不等式的解集为 x ∈ (0, e^2] 或 x ≥ e^(1/2a)。
注意以上三种方式中，方式二和方式三只能得到不等式的解集，需要进一步判断是否满足题目中的“恒成立”的条件