Question

复合函数奇偶性的判断方法是什么？

Answer 1

复合函数奇偶性口诀：外奇内奇为奇，外奇内偶为偶，外偶内奇为偶，外偶内偶为偶。

判断复合函数的奇偶性：

记F(x)=f——复合函数，则F(-x)=f，

如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f，

则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f=-F(x)，F(x)是奇函数；

当f(x)是偶函数时，F(-x)=f=F(x)，F(x)是偶函数。

如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f=F(x)，F(x)是偶函数。

所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数的偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。

复合函数的单调性判断：

1、求复合函数的定义域；

2、将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；

3、判断每个常见函数的单调性；

4、将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

5、求出复合函数的单调性。

Answer 2

复合函数奇偶性的判断方法：

1、函数的定义域必须关于原点对称，这样该函数才可能有奇偶性。

2、定义法：x属于函数y=t(x)的定义域A，且X属于A的条件下。

如果f(-x)=-f(x)则 y=f(x)为奇函数；

如果f(-x)=f(x)则y=f(x)为偶函数；

如果f(-x)=-f(x)=f(x)=O 则y=f(x)为偶函数且奇函数；

如果f(-x)=-f(x)=f(x)等于不为零的一个常数，则y=f(x)为偶函数。

3、根据函数图像对称性来判断：如果函数图像关于原点对称，则为奇函数，如果函数图像关于y轴对称，则为偶函数。

4、分段函数奇偶性的判断：要看每段上f(-x)与f(x)的关系，或要取绝对值符号，化简函数式。

5、复合函数奇偶性的判断：函数 y=f(t)且 t=g(x)，如果f(t)为奇(偶)函数，则 t=g(x)为奇(偶)函数。

6、互为反函数的关系判断：如果一个函数是奇函数，则它的反函数也是起函数，但偶函数就不能这样的关系。

7、用特殊值判断函数的奇偶性。