Question

两个重要极限公式推导是怎么样的？

Answer 1

1、两边加逼近出的。

2、证明单调有界必有极限，具体数值无法求出，是无理数。

sinx/x→1，（x→0）用夹逼准则来证明，用到tanx=sinx/cosx>x>sinx（在单位圆里的第一象限）

而注意x→0时，cosx→1；然后由夹逼准则就可以得出sinx~xx→0；

对定义的理解，ε的任意性

因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

极限是数学中的一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的行为。以下是两个重要极限公式的推导过程：

1. 极限的标准形式推导：
假设有一个函数 f(x)，x 在某一点 a 的附近。如果当 x 趋近 a 时，函数 f(x) 的变化趋势可以用一个常数 L 来逼近，即：
lim┬(xa)⁡〖(f(x) - L) 〗= 0
根据这个定义，我们可以推导出极限的标准形式：
lim┬(xa)⁡f(x) = L

2. 求导公式的推导：
假设有一个函数 f(x)，对于某一点 a，我们想求出它的导数。首先定义差商：
Δf(x) = f(x + Δx) - f(x)
Δx 代表一个很小的变化量。差商可以用来表示函数变化的平均速率。当 Δx 趋近于 0 时，差商趋近于导数。因此，可以推导出求导的定义：
f'(x) = lim┬(Δx0)⁡〖(Δf(x) / Δx)〗
通过一些数学推导，可以得到求导的公式：
f'(x) = lim┬(h0)⁡〖(f(x + h) - f(x)) / h〗

以上是两个重要极限公式的推导过程。具体的推导过程涉及到数学分析和微积分的知识，需要详细的数学推导和证明。

Answer 3

在数学中，有两个非常重要的极限公式，即欧拉公式（Euler's formula）和自然对数的定义（Definition of Natural Logarithm）。下面将对这两个公式进行简要的推导。
1. 欧拉公式：
欧拉公式表达了复数的指数函数与三角函数之间的关系。它可以用下面的形式表示:
e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)
其中，e是自然对数的底，i是虚数单位，θ是实数的参数。cos(θ)和sin(θ)表示余弦和正弦函数。
推导：
首先，通过泰勒级数展开，可以得到以下等式：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
然后，将x替换为ix，有：
e^(ix) = 1 + ix - x^2/2! - ix^3/3! + ...
现在，我们可以观察到，右侧的第一个和第三个项分别对应于余弦和正弦函数的级数展开式。因此，我们可以重新排列得到：
e^(ix) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...
最后，我们可以使用欧拉公式的定义，将余弦和正弦函数的级数展开式代入，得到完整的欧拉公式：
e^(ix) = cos(x) + isin(x)
2. 自然对数的定义：
自然对数函数ln(x)可以定义为：
ln(x) = ∫[1, x] (1/t) dt
其中，∫[1, x] 表示积分运算，t是积分变量。
推导：
假设y = ln(x)，我们可以认为y是满足下列积分方程的函数：
∫[1, x] (1/t) dt = y
对上述式子两边关于x求导，得到：
(1/x) = y'
现在，我们有了一个微分方程，我们可以解它得到y的函数形式。将上述微分方程分离变量并积分，可以得到：
∫(1/x) dx = ∫y' dy
即ln(x) = y
因此，我们得到了自然对数函数的定义。
需要注意的是，以上只是简要的推导概述。这两个公式有更深入和详细的推导和证明过程，需要更深入的数学知识和分析工具。在数学领域，这些公式是重要的基本工具，被广泛应用于各个领域中的数学和科学研究