Question

一元函数在一点可导必连续,在二元函数是否成立？

Answer 1

不成立。可以举个反例，详情如图所示

Answer 2

先上图，

对于多元函数，可导，连续，可微的关系如图。

从图中可以看出

函数可导，但不一定连续

可导指的是偏导数存在,即沿x轴,y轴方向的导数存在（注意只有两个方向）,但是二元函数的连续性是从各个方向,以任何形式来取极限的,所以从这个方面来讲,多元函数可导，但不一定能保证其连续,如果是可微就可以推出连续,因为可微就考察了所有方向.

追答

望采纳～

Answer 3

二元函数不一定成立，
例：f(x,y)=(xy)/(x²+y²),(x²+y²≠0, f(x,y)=0, x²+y²=0
这个函数在(0,0)对x，y的偏导数都存在且均为0，但在该点不连续。
因为当(x,y)→(0,0) 时，limf(x,y)不存在。
（证明这个极限不存在，可以考虑动点沿着y=kx趋向于(0,0),得到极限k/(1+k²），当k取不同值时，结果不同，因此极限不存在）

对二元函数，如果一阶偏导数连续，则函数在该点可微，可微分一定连续。因此一阶偏导连续，函数一定连续