Question

这个积分是怎么算出来的？

∫e^(-x)cos(nπt)dt在[-1,1]上的积分，跪求 大佬

Answer 1

n 是正整数
∫(-1->1) e^(-x) cos(nπt) dt
=-∫(-1->1) cos(nπt) de^(-x)
=-[e^(-x) cos(nπt)]|(-1->1) -(nπ)∫(-1->1) e^(-x) .sin(nπt) dx
=(-1)^n .[ e^x - e^(-x) ] +(nπ)∫(-1->1) sin(nπt) d e^(-x)
=(-1)^n .[ e^x - e^(-x) ] +(nπ)[ sin(nπt). e^(-x)]|(-1->1)
-(nπ)^2.∫(-1->1) e^(-x) cos(nπt) dt
=(-1)^n .[ e^x - e^(-x) ] +0 -(nπ)^2.∫(-1->1) e^(-x) cos(nπt) dt
[1+(nπ)^2].∫(-1->1) e^(-x) cos(nπt) dt =(-1)^n .[ e^x - e^(-x) ]
∫(-1->1) e^(-x) cos(nπt) dt =(-1)^n .[ e^x - e^(-x) ] /[1+(nπ)^2]