Question

已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点.

1)    求证：MN‖平面PAD；
(2)求证：MN⊥CD；
(3)若平面PCD与平面ABCD所成二面角为θ，问能否确定θ的值，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线.

Answer 1

（1）在平面PAD内作矩形PADE，平面PBCE中，BC//=PE得到PBCE为平行四边形，N为BE中点，所以三角形ABE中，MN//AE,AE为平面PAD内一条直线，故(1)得证
（2）CD垂直平面PAD，所以CD垂直AE,MN//AE,所以CD垂直MN
（3）容易证明，θ等于角PDA，角PDA=45度时，PADE为正方形，AE垂直PD，又AE垂直CD，故AE垂直平面PCD，AE垂直PC，又MN平行于AE，故MN垂直PC，MN垂直CD和AB，故此时MN是异面直线AB与PC的公垂线.