Question

裂项公式详细推导过程

Answer 1

裂项公式详细推导过程是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）n·n!=(n+1)!-n!
例1、分数裂项基本型求数列an=1/n(n+1)的前n项和。
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（裂项）
则Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝1-1/(n+1)
＝n/(n+1)
例2、整数裂项基本型求数列an=n(n+1)的前n项和。
an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）
则Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）
＝(n-1)n(n+1)/3
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项。