Question

无穷小有多小

Answer 1

“无穷小”这个名词相信很多人都听说过。那么无穷小究竟有多小呢？又是怎样的一个概念呢？这件事就要从17世纪牛顿创立微积分说起了。

我们举一个简单的例子，牛顿研究自由落体的瞬时速度时有以下的思考。

在( )式中让 趋近于0的时候，右边就相当于 了，牛顿就认为 为该时刻的瞬时速度。因为这个方法非常好用，所以当时也得到了人们的广泛接受。但是这个方式也存在这逻辑上的漏洞，因此引发了第二次数学危机。

第二次数学危机是由 贝克莱 对牛顿在以上推导过程的质疑引起的。简单的来说，贝克莱认为，在牛顿的推导过程中， 这个所谓的“无穷小量”有着逻辑上的漏洞。如果我们认为 是0的话，那么在( )式的左边分母是不能为0的。如果我们认为 不是0的话，在( )式的右侧我们就不能直接把 扔掉。无论哪种情况都会出现矛盾。这就是著名的“贝克莱悖论”。他认为牛顿的这种运算方法就和 推导出5=3一样的荒谬。而就是这一悖论，在两百年间竟然没有人能够较好的反驳这一悖论，直到柯西创建了极限理论之后才能较好地反驳贝克莱的责难。

简单来说，第二次数学危机的症结所在就是无穷小究竟是不是0。(或者从专业的角度来来说是极限的理论不够清楚）。那么为了探究清楚这一问题，我们不妨先看下面两个例子：

其中一个是我们上一次提到的，“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。

另一个则是大话西游里的一段台词。

我们很容易发现，无论是“一尺之棰，日取其半”还是“离我的喉咙只有0.01公分”。日取其半会让一根木尺不断变短，但是“万世不竭”说明不论多短都不会取完，不会成为“0”。同样，不管是0.01公分还是0.00001公分，那把剑还是没有碰到喉咙。因此我们可以断言“无穷小不是0”.那么无穷小究竟是一个什么样的数学概念呢，为此我们就需要对极限这些微积分基础的概念建立起严格的体系。

不仅仅是贝克莱悖论，因为极限体系的不完善，当时很多数学家在证明过程中出现了很多错误的证明。达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论(但是他本人并没有能力提供这样的理论)。

而著名的法国数学家柯西在1821—1823年间出版的《分析教程》和无穷小计算讲义是数学史上划时代的著作。其中给出了极限比较精确的定义，进而定义连续，导数，积分等一系列概念。这已经与现代高等数学和微积分课本上的 语言差不多了。

因为作者的这一系列文章只是科普性质，所以只用上文的例子对无穷小做一阐释。在“一尺之锤”的例子中，直观上这跟木尺的长度会越来越小，也就是成为“无穷小量”。那么按照严格的数学定义，我们可以这样叙述，任意给定一个长度 ,不管他有多小。总能找到一个正整数 ,只要经过 天以上的分割，最后剩下来的部分就会比 小。所以我们就说这个木尺的长度会变成无穷小量。