Question

设H是群G的子群 a属于G 证明(aH(a^-1))属于G的子群

Answer 1

aH(a^-1) = {a*h*a^(-1) | h∈H},其中*是群G的运算,因此aH(a^-1)是G的子集.
接下来验证aH(a^-1)对G中的运算成为一个群：
封闭性：对h1, h2∈H,有[a*h1*a^(-1)] * [a*h2*a^(-1)] = a * h1 * h2 * a^(-1)(用到结合律).
结合律：对h1, h2, h3∈H,有{[a*h1*a^(-1)] * [a*h2*a^(-1)]} * [a*h3*a^(-1)]
= a * h1 * h2 * h3 * a^(-1)
=[a*h1*a^(-1)] * {[a*h2*a^(-1)] * [a*h3*a^(-1)]}.(同样用到结合律)
恒元：若G的恒元为e,则e = a * e * a^(-1)同样为aH(a^-1)的恒元.
逆元：若h（∈H）在H中逆元为h^(-1),则a * h^(-1) * a^(-1)为a * h * a^(-1)的逆元.
从而aH(a^-1)是G的子群.