为什么连续不一定可导？
因为如果这个函数前提是连续的设f(x)=|x|这个函数连续，到时在x=0的时候f(x)不可导，这就是连续不一定可导。
连续的定义：
1、点函数值等于该点极限。
2、该点有定义。
3、函数有极限。
可导要满足：
1、导数存在。
2、左右导数相等。
比如说：y= |x|这个函数就不满足上述所说的可导性，因为在x = 0时是不可导的，左右导数不相等。
连续与可导的关系
1、连续的函数不一定可导；
2、可导的函数是连续的函数；
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑；
4、存在处处连续但处处不可导的函数。
左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限＝右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。
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2024-08-28 广告
对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积。
对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。
常用导数公式：
1、y=c(c为常数) y'=0
2、y=x^n y'=nx^(n-1)
3、y=a^x y'=a^xlna，y=e^x y'=e^x
4、y=logax y'=logae/x，y=lnx y'=1/x
5、y=sinx y'=cosx
6、y=cosx y'=-sinx
7、y=tanx y'=1/cos^2x
8、y=cotx y'=-1/sin^2x
9、y=arcsinx y'=1/√1-x^2
因为如果这个函数前提是连续的设f(x)=|x|这个函数连续，到时在x=0的时候f(x)不可导，这就是连续不一定可导。
连续的定义：
1、点函数值等于该点极限。
2、该点有定义。
3、函数有极限。
可导要满足：
1、导数存在。
2、左右导数相等。
比如说：y= |x|这个函数就不满足上述所说的可导性，因为在x = 0时是不可导的，左右导数不相等。
连续与可导的关系
1、连续的函数不一定可导；
2、可导的函数是连续的函数；
3、越是高阶可导函数曲线越是光滑；
4、存在处处连续但处处不可导的函数。
左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限＝右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。
连续性是指函数在某一点附近没有跳变或间断，即函数图像可以被一条无间断的曲线表示。它要求函数在该点的左右极限存在且相等。
可导性则是指函数在某一点附近存在切线（导数），即函数在该点的左右导数存在且相等。可导性意味着函数在任意小的邻域内可以用线性近似来近似函数的局部变化。
尽管连续性是可导性的一个必要条件，但可导性还需要更严格的条件。例如，函数在某一点处可能是连续的，但由于存在尖点、锐角、断点等异常形状，导数可能不存在。例如，阶梯函数在每个跳跃点都是连续的，但它在跳跃点处不可导。
因此，连续性是可导性的一个较弱要求，只要求函数在某点处无间断，而可导性则要求函数在该点处具有平滑的变化并存在切线。
连续性是指函数在某个区间上的取值变化连续，即在函数的定义域内没有跳跃或断裂。如果函数在某个点的左右极限存在，并且与该点处的函数值相等，那么该函数在该点是连续的。连续性是一个比较宽泛的概念，大多数函数都是连续的。
可导性是指函数在某个点的导数存在。导数是用来描述函数在某一点上的瞬时变化率，它表示函数在该点的切线斜率。如果一个函数在某个点处的导数存在，那么该函数在该点是可导的。
然而，连续性和可导性之间并不一定具有等价关系。即使函数在某个点是连续的，也不意味着在该点处一定存在导数。例如，考虑函数f(x) = |x|，其中x为实数。这个函数在x=0处是连续的，但在该点的导数不存在，因为不同的左右极限具有不同的斜率，即在该点无法定义唯一的切线。
此外，还存在其他一些函数形式，如阶梯函数和绝对值函数在某些点处可能存在连续性但不可导。因此，连续性和可导性是两个相对独立的概念，在某些情况下可以同时成立，但不一定总是互相包含。
