Question

五、函数微分

Answer 1

微分和导数有密切关系，我们回顾x0处导数为：

微分的形式为：

表示函数在x0点处，△x的微分，可见导数表示“增长率”的概念，微分表示“增长量的概念，这里△y≈dy实际是把一个无穷小量舍掉了（△y=A△x+o(△x)）。
函数在x0有微分充分必要条件是： 函数在x0处可导。
从坐标系上看，△y是函数f(x)的增量，dy是函数在x0切线的增量，当△x->0时

注意上面积和商的公式。

由前面的定义我们知道：

即：

利用这个公式，当f(x0+△x）形式比较复杂时，可以用等号后面的式子计算。
（案例可见课本P117页例8）
上式，当x0=0时变为：（△x就是x）

其实上式就是泰勒公式在0点处把高阶项去掉的形式，利用这个公式可以求一些复杂方程式得近似解，如：

PS：上满式子也很像等价无穷小量。

我们知道，受测量仪器、条件和方法的制约，测试都是有误差的，我们先来看下 绝对误差和相对误差的概念：
绝对误差：|A-a|
相对误差：|A-a|/|a|
绝对误差限δ：|A-a|<δ
相对误差限：δ/|a|

由微分的定义可以知：

上式左边就是绝对误差，右边就是因变量的绝对误差限△y，△x就是自变量的绝对误差限。
（课本P119页例10）