Question

帮忙求解一个微分方程

未知数是z和t，那个大Z与小z是一个东西。我不知道怎么处理里面的常数，算到通解就卡住了。麻烦提供一下步骤。万分感谢！！

Answer 1

解:∵微分方程为QE-QB(QBz/m)=md²z/dt²，化为d²z/dt²+(QB/m)²z=QE/m ∴设微分方程的特征值为λ，特征方程为

λ²+(QB/m)²=0，得:λ=-(QB/m)i，特征根为sin(QBt/m)、cos(QBt/m) 又∵微分方程的右式为QE/m ∴微分方程的特解为

y=Em/QB² ∴微分方程的通解为

y=psin(QBt/m)+qcos(QBt/m)+Em/QB²

∵z(0)=0，z'(0)=0，z"(0)=QE/m

∴得:p=0，q=-Em/QB² ∴微分方程的特解为y=Em/QB²-(Em/QB²)cos(QBt/m)

请参考

微分方程为QE-QB(QBz/m)=md²z/dt²，化为d²z/dt²+(QB/m)²z=QE/m，

z"+(QB/m)z=QE/m

∵Q、B、m为正数 ∴有z"sin(QBt/m)+

(QB/m)z'cos(QBt/m)-(QB/m)z'cos(QBt/m)+(QB/m)²zsin(QBt/m)=(QE/m)sin(QBt/m)，[z'sin(QBt/m)]'-(QB/m)[zcos(QBt/m)]'=(QE/m)sin(QBt/m)，z'sin(QBt/m)-

(QB/m)zcos(QBt/m)=-(E/B)cos(QBt/m)+a(a为任意常数)，z'/sin(QBt/m)-(QB/m)z

cos(QBt/m)/sin²(QBt/m)=

-(E/B)cos(QBt/m)/sin²(QBt/m)+a/

sin²(QBt/m)，z/sin(QBt/m)=(Em/QB²)

/sin(QBt/m)-acot(QBt/m)+c(c为任意常数)，微分方程的通解z=(Em/QB²)-

acos(QBt/m)+csin(QBt/m)

∵z(0)=0，z'(0)=0，z"(0)=QE/m

∴得:a=mE/QB²，c=0 ∴微分方程的特解为z=(Em/QB²)-(Em/QB²)cos(QBt/m)

请参考

泛函，最速曲线

高阶线性微分方程分为齐次和非齐次，齐次就是最后为0，非齐次最后不为0的形式，也就是y的n阶导数的系数全为常数

非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次的特解

非齐次的通解源于齐次却又高于齐次，为了解决非齐次通解，在组成上我们就差一个非齐次的特解的求法，就完美的所有的关系就打通了

一般情况下，根据上面的类型找到对应的解答步骤就可以完成，例如xy的形式就想到可分离变量，x/y或y/x形式就想到齐次微分方程的解法，在y的一阶导数和二阶导数存在的情况下，如果缺x或者缺y项，就想到可降阶的高阶微分方程的解法，不管怎样都应该找对应的练习题进行练习，熟练才能自然的反映出来。

Answer 2

求解过程与结果如图所示

Answer 3

原方程变为z''+z(QB/m)^2=QE/m.①
z''+z(QB/m)^2=0的通解是z=c1cos(tQB/m)+c2sin(tQB/m),
易知z=mQE/QB^2是①的特解，
所以①的通解是z=c1cos(tQB/m)+c2sin(tQB/m)+mQE/QB^2，②
z(0)=0,z'(0)=0,z''(0)=QE/m,

所以c1+mQE/QB^2=0,c2QB/m=0,-c1(QB/m)^2=QE/m,
解得c1=-mQE/QB^2,c2=0,
代入②，得z=mQE/QB^2*[1-cos(tQB/m)],
可以吗？

追问

您好，您能详细说说这个特解是怎么求出来的吗。

我在网上看到的都是这种形式：

现在微分方程的右边是个常数我就不知道如何下手了

追答

因为方程的右边是常数，所以特解也是常数，
由z(QB/m)^2=QE/m得z=mQE/QB^2.
可以吗？