Question

可积一定有界吗

Answer 1

可积一定有界。可积分,说明积分对象必然存在一个界，这个很通俗啦。而对于广义积分，同样适合，广义积分虽然积分区间是无穷的，不过那个面积的大小却是有限的，所谓的界,可以理解为面积，而不是区间长度。

可积一定有界吗

在一元微分学里面，可微与可导是等价的处于同样的地位，但是在多元微分学里面，可微强于可导(可偏导);同样在一元微分学里面，可微(可导)均可推出连续，但是在多元微分学里面，可微可推出连续。

可偏导并不能保证连续，需要偏导有界才能保证连续性。剩下的有界与可积是相互联系的，Riemann可积函数类的第一个性质就是有界，当然如果对广义积分来说有界就不是必要的了。而连续函数必Riemann可积，因此连续强于可积性。

总的来说，一元微积分里面，可积<连续<可微=可导，而可积必有界，对连续函数而言，需要在一定条件下才是有界的(如闭区间上的连续)。多元微积分里面，积分有多种，剩下的连续、可微、可导满足：可微必连续、可导;连续可偏导必可微;偏导有界必连续。