Question

当 x ＞0时，证明不等式e x ＞1+ x + x 2 成立.

Answer 1

证明：设 f （ x ）=e x －1－ x － x 2 ，

则 f ′（ x ）= e x －1－ x .

下面证明 g （ x ）=e x －1－ x 在 x ＞0时恒为正.

∵ g ′（ x ）=e x －1，当 x ＞0时 g ′（ x ）=e x －1＞0，

∴ g （ x ）在（0，+∞）上为增函数.

当 x ＞0时 g （ x ）＞ g （0）=0，

即 f ′（ x ）在（0，+∞）上恒为正.

∴ f （ x ）在（0，+∞）上为增函数.

又 f （0）=e 0 －1－0－0=0，

∴ x ＞0时， f （ x ）＞ f （0）=0.

∴e x －1－ x － x 2 ＞0，

即 x ＞0时，e x ＞1+ x + x 2 成立.

点评：要证明当 x >0时， f （ x ）>0，只需证明 f ′（ x ）>0且 f （0）≥0，而 f ′（ x ）>0并不显然成立，所以再利用求导数的方法证明 f ′（ x ）的导数 g ′（ x ）>0且 g （0）≥0即可.因此，本例既体现导数法的优越性，又体现处理问题的灵活性.