Question

弦切角定理的证明与推导

Answer 1

　　弦切角定理示范

　　弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

　　证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D

　　则∠TCB=∠CDA

　　∵∠TCB=90-∠OCD

　　∵∠BOC=180-2∠OCD

　　∴,∠BOC=2∠TCB

　　证明：分三种情况

　　(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

　　∵AC为直径，AB切⊙O于A

　　∴弧CmA=弧CA

　　∵为半圆

　　(2)圆心O在∠BAC的内部.

　　过A作直径AD交⊙O于D

　　弦切角定理介绍

　　弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

　　(与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。)

　　顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

　　如图所示

　　线段PT所在的`直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

　　弦切角定理衍生问题及其证明

　　已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.

　　求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

　　证明：分三种情况

　　(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

　　∵AC为直径

　　∴弧CmA=弧CA

　　∵弧CA为半圆,

　　∴弧CmA的度数为180°

　　∵AB为圆的切线

　　∴∠CAB=90°

　　∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

　　(2)圆心O在∠BAC的内部.

　　过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点

　　E，

　　连接EC、ED、EA。则

　　∵弧CD=弧CD

　　∴∠CED=∠CAD

　　∵AD是圆O的直径

　　∴∠DEA=90°

　　∵AB为圆的切线

　　∴∠BAD=90°

　　∴∠DEA=∠BAD

　　∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC

　　又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半

　　∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半

　　(3)圆心O在∠BAC的外部

　　过A作直径AD交⊙O于D，连接CD

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