Question

函数导数等于反函数导数的倒数对吗?

Answer 1

原函数的导数等于反函数导数的倒数。

设y=f(x),其反函数为x=g(y),

可以得到微分关系式：dy=(df/dx)dx ,dx=(dg/dy)dy .

那么,由导数和微分的关系我们得到,

原函数的导数是 df/dx = dy/dx,

反函数的导数是 dg/dy = dx/dy .

所以,可以得到 df/dx = 1/(dg/dx) .

扩展资料：

反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

如果f在D上严格单减，证明类似。

参考资料：

反函数_百度百科