Question

已知函数f（x）=lnx+ax2+bx？

Answer 1

解题思路：（1）利用导数的几何意义即可得出切线方程，再利用直线与圆相切的性质即可得出a，b的关系，再利用判别式即可得出b的取值范围；
（2）利用导数的运算法则可得f′（x），通过对b分类讨论即可得出其单调性；
（3）利用（2）的结论，取b=1时可得f（x）在x＞1是单调递减，可得f（x）＜f（1），进而得到 ln(n+1)−lnn＜ n+1 n 2 ．利用累加求和即可得出．
（1）∵f′(x)＝
1/x+2ax+b(x＞0)，∴f′（1）=1+2a+b，
其切线方程为y-（a+b）=（1+2a+b）（x-1），即（1+2a+b）x-y-1-a=0．
由切线与圆x2+y2=1相切可得
|1+a|

(1+2a+b)2+1＝1
化为3a2+（2+4b）a+b2+2b+1=0，此方程有解，∴△=（2+4b）2-12（b2+2b+1）≥0，解得b≥1+
3]或b≤1−
3．
（2）∵2a+b+1=0，∴2a=-1-b，∴f′(x)＝
1
x−(1+b)x+b=
−[(1+b)x+1](x−1)
x（x＞0）．
①b=-1时，f′(x)＝
−(x−1)
x，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减．
②当-2＜b＜-1时，[−1/1+b＞1，由f′（x）＞0解得1＜x＜
−1
1+b]，函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得x＞[−1/1+b]或0＜x＜1，函数f（x）单调递减．
③当b＜-2时，0＜
−1
1+b＜1，由f′（x）＞0解得[−1/1+b]＜x＜1，函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得x＞1或0＜x＜−
1
1+b，函数f（x）单调递减．
④当b＞-1时，[−1/1+b＜0，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减．
（3）由（2）可知：当b=1时，当x＞1时，函数f（x）单调递减．
∴f（x）＜f（1），即lnx-x2+x＜0，令x＝1+
1
n]，可得ln(n+1)−lnn＜
,2,已知函数f（x）=lnx+ax 2+bx
（1）若曲线y=f（x），在点（1，f（1））处的切线与圆x 2+y 2=1相切，求b取值范围；
（2）若2a+b+1=0，讨论函数的单调性；
（3）证明：2+[3 2 2