Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=a，E，F分别为AD，CD的中点．？

Answer 1

解题思路：（1）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD 1所在直线为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出a的值．
（2）分别求出平面FD 1D的一个法向量为 m 和平面EFD 1的一个法向量 n ，利用向量法能求出二面角E-FD 1-D的余弦值．
（1）如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，
DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立坐标系．
∵AB=AD=2，AA1=a，E，F分别为AD，CD的中点，
∴A（2，0，0），D1（0，0，a），
C1（0，2，a），F（0，1，0）．
∴

AC1=（-2，2，a），

D1F=（0，1，-a）．…（2分）
∵AC1⊥D1F，∴

AC1•

D1F=0，即（-2，2，a）•（0，1，-a）=0．
∴2-a2=0，又a＞0，解得a=
2．…（5分）
（2）平面FD1D的一个法向量为

m=（1，0，0）．
设平面EFD1的一个法向量为

n=（x，y，z），
∵E（1，0，0），a=2，
∴
,2,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，AA 1=a，E，F分别为AD，CD的中点．
（1）若AC 1⊥D 1F，求a的值；
（2）若a=2，求二面角E-FD 1-D的余弦值．