Question

可导必可微，连续必可积。对吗？

Answer 1

=1

令t(x) = 1/x则

lim(x→∞)xsin1/x 

= lim (x→∞) 1/t(x) * sin t(x)

由于当x→∞时t(x)→0，因此

lim (x→∞) 1/t(x) * sin t(x) 

= lim(t→0) (sin t)/t 

= 1

对于一元函数有

对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。