Question

微分方程y"+y'=x+sinx通解,要过程

Answer 1

特征方程
r^2+r=0
r=0,r=-1
因此齐次通解是
y=C1x+C2e^(-x)
特解分为两部分
y"+y'=x和y"+y'=sinx
对于y"+y'=x
设特解为y=x(ax+b)
y'=2ax+b
y''=2a
代入方程得
2a+2ax+b=x
a=-1/2,b=1
y=x(-1/2x+1)
下面求y"+y'=sinx
设特解为y=acosx+bsinx
y'=-asinx+bcosx
y''=-acosx-bsinx
代入方程得
-acosx-bsinx-asinx+bcosx=sinx
比较系数得
-a-b=1
-a+b=0
a=b=-1/2
y=-1/2(sinx+cosx)
综合上面得原方程的通解为
y=C1x+C2e^(-x)+x(-1/2x+1)-1/2(sinx+cosx)