Question

若7的32次方-1可以被45至55之间的两个整数整除，试求出这两个数

Answer 1

若7的32次方-1可以被45至55之间的两个整数整除，试求出这两个数

7^32-1=(7^2-1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1)(7^16+1)
在45至55之间的两个整数是：(7^2-1)=48,(7^2+1)=50

如果7^32减1可以被45至55之间的两个整数整除,试求出这两个数

7^32-1
=(7^16+1)(7^16-1)
=(7^16+1)(7^8-1)(7^8+1)
=(7^16+1)(7^8+1)(7^4+1)(7^2+1)(7^2-1)
=(7^16+1)(7^8+1)(7^4+1)*50*48
所以， 这两个数是50和48。

若732-1可以被45至55之间的两个整数整除，试求出这两个数

7 ³² -1=（7 ¹⁶ +1）（7 ¹⁶ -1）
=（7 ¹⁶ +1）（7 ⁸ +1）（7 ⁸ -1）
=（7 ¹⁶ +1）（7 ⁸ +1）（7 ⁴ +1）（7 ² +1）（7 ² -1）
∵7 ¹⁶ +1＞55，7 ⁸ +1＞55，7 ⁴ +1＞55，
又∵7 ² +1=50，7 ² -1=48，
∴在45至55之间的两个能够整除7 ³² -1整数是48和50．

若 2的64次方减1 可以被60至70之间的两个整数整除，试求这两个数

首先有个条件：我们用符号“^”表示乘方，比如a的平方可以表示为a^2,2的64次方可以表示为2^64
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)*(a-b)
且我们知道1=1^2
因此：
2^64-1=(2^32+1)*(2^32-1)=(2^32+1)*(2^16+1)*(2^16-1)=(2^32+1)*(2^16+1)*(2^8+1)*(2^8-1)=(2^32+1)*(2^16+1)*(2^8+1)*(2^4+1)*(2^4-1)

若7^32-1可被45至55间的两个整数整除，求这两个数。

7^32-1
=(7^16-1)(7^16+1)
=(7^8-1)(7^8+1)(7^16+1)
=(7^4-1)(7^4+1)(7^8+1)(7^16+1)
=(7^2-1)(7^2+1)(7^4+1)(7^8+1)(7^16+1)
这两个数为7^2-1=48和7^2+1=50

已知3的24次方-1可以被20与30之间的两个整数整除，请求出这两个数

3^24-1
=(3^12+1)(3^12-1)
=(3^12+1)(3^6+1)(3^3+1)(3^3-1)
=(3^12+1)(3^6+1)×28×26
所以是28和26

已知2的64次方-1可以被10至20之间的两个整数整除，求这两个数

2^64+1
=(2^32+1)(2^32-1)
=(2^32+1)(2^16+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)
=(2^32+1)(2^16+1)(2^8+1)×17×15
所以这两个数是17和15

已知2的48次-1可被60与70之间的两个整数整除,求出这两个数?

2^48-1
=(2^24)^2-1
=(2^24+1)*(2^24-1)
=(2^24+1)*[（2^12)^2-1]
=(2^24+1)*（2^12+1)*(2^12-1)
=(2^24+1)*（2^12+1)*[(2^6)^2-1]
=(2^24+1)*（2^12+1)*(2^6+1)*(2^6-1)
=(2^24+1)*（2^12+1）*65*63
所以这两个数是65和63

2的96次方-1，可以被60-70之间的两个整数整除，求这两个数。

2^96-1
=(2^48+1)(2^48-1)
=(2^48+1)(2^24+1)(2^24-1)
以此类推，
2^96-1=(2^48+1)(2^24+1)(2^12+1)(2^6+1)(2^6-1)
因为2^6=64
所以2^6-1=63,2^6+1=65在60与70之间
这两个数为63、65

7的24次方减一可以被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数！

用平方差公式
7^24-1
=(7^12+1)(7^12-1)=(7^12+1)(7^6+1)(7^6-1)=(7^12+1)(7^6+1)(7^3+1)(7^3-1)
=(7^12+1)(7^6+1)(7^2-1)(7^4+7^2-1)
=(7^12+1)(7^6+1)(7^2-1)(7^2-7+1)(7^2+7-1)
由于7^2=49，在40~50之间，所以出现7^2可以不继续向下进行
=(7^12+1)*(7^6+1)*48*43*55
所以这两个数是48和43