Question

求二倍角公式的证明过程

Answer 1

考研数学备考：两角和差公式
　　1、两角和与差的三角函数公式：
　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
　　cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
　　2、二倍角公式：
　　二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)
　　sin2α=2sinαcosα
　　cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
　　tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]
　　3、半角公式：
　　半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
　　sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
　　cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
　　tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
　　另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)
　　4、万能公式：
　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
　　cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
　　万能公式推导：
　　附推导：　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*
　　(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)
　　再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
　　然后用α/2代替α即可。
　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
　　5、三倍角公式：
　　三倍角的正弦、余弦和正切公式：
　　sin3α=3sinα-4sin^3(α)
　　cos3α=4cos^3(α)-3cosα
　　tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]
　　三倍角公式推导：
　　附推导：
　　tan3α=sin3α/cos3α
　　=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
　　=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)
　　上下同除以cos^3(α)，得：