极限的重要极限有哪些?

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周老师说教育1
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2022-09-24 · 周老师在线答疑,接收各类问题,欢迎咨询!
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  1. 第一个重要极限的公式:lim sinx / x = 1 (x->0)     当x→0时,sin / x的极限等于1.

特别注意的是x→∞时,1 / x是无穷小,根据无穷小的性质得到的极限是0。

2. 第二个重要极限的公式:lim (1+1/x) ^x = e(x→∞)   当 x → ∞ 时,(1+1/x)^x的极限等于e;或 当 x → 0 时,(1+x)^(1/x)的极限等于e。

这两个重要极限有什么作用呢?这两个重要极限的用处实在是太大了:

(1)sinx/x 的极限,在中国国内的教学环境中,经常被歪解成 等价无穷小。而在国际的微积分教学中,依旧是中规中矩, 没有像国内这么疯狂炒作等价无穷小代换。 sinx 经过麦克劳林级数展开后,x 是最低价的无穷小,sinx跟 x 只有在比值时,当 x 趋向于 0 时,极限才是 1。用我们一贯的,并不是十分妥当的说法,是“以直代曲”。
这一特性在计算、推导其他极限公式、导数公式、积分公式时,会反反复复地用到。sinx、x、tanx 也给夹挤定理提供了最原始的实例,也给复变函数中 sinx/x 的定积分提供形象理解。

(2)关于 e 的重要性,更是登峰造极。 表面上它起了两个作用:
A、一个上升、有阶级数,跟一个下降的有阶级数,具有一个共同极限;
B、破灭了我们原来的一些固有概念:
大于1的数开无限次幂的结果会越来越小,直到1为止;小于1的正数开无限次幂的结果会越来越大,直到1为止。


整体而言,e 的重要极限,有这么几个意义:

A、将代数函数、对数函数、三角函数,整合为一个整体理论,再结合复数理论,它们成为一个严密的互通互化互补的、相辅相成、交相印证的完整理论体系.
B、使得整个微积分理论,包括微分方程理论,简洁明了。没有了 e^x 这一函数,就没有了 lnx,也就没有一切理论,所有的公式将十分复杂。

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