Question

求 微分 方程的通解 y'-2y/1-x^2=x+1 x=0 ,y=0

Answer 1

先求 y'-2y/1-x^2=x+1 的通
用常数变易法.首先解一个齐次方程 y'=2y/1-x^2 的通解,用分离变量法,dy/2y=dx/1-x^2, 两边同时积分得：(1/2)ln|y|=(1/2)ln(|1+x|/|1-x|)+C, 化简得：y=C(1+x)/(1-x), 因 y=0 是 y'=2y/1-x^2 的解,因此C取一切实数.现在进行常数变易：令C=C(x), 将 y=C(x)(1+x)/(1-x) 代人原方程：y'-2y/1-x^2=x+1 得：(1-x^2)C'(x)=(x+1)(1-x)^2, 即是：C'(x)=1-x, 两边积分得：C(x)=x-(1/2)x^2+C, 于是原方程 y'-2y/1-x^2=x+1 的通解是 y=[x-(1/2)x^2+C](1+x)/(1-x).
对于过 x=0 , y=0 的特解,只需将初值代人 y=[x-(1/2)x^2+C](1+x)/(1-x), 即得 C=0, 代人通解得 y=[x-(1/2)x^2](1+x)/(1-x),