Question

A=（-1 2 2,2 -1 -2,2 -2 -1),求A^-1+I的特征值和特征向量

Answer 1

|A-λE|=
-λ-1 2 2
2 -λ-1 -2
2 -2 -λ-1
r3-r2
-λ-1 2 2
2 -λ-1 -2
0 λ-1 -λ+1
c2+c3
-λ-1 4 2
2 -λ-3 -2
0 0 -λ+1
= (1-λ)[(λ+1)(λ+3)-8]
= (1-λ)(λ^2+4λ-5)
= (1-λ)(λ-1)(λ+5)
所以A的特征值为1,1,-5.
所以A^-1+I的特征值2,2,4/5
A^-1+I 与 A 的特征向量相同
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,1,0)^T,a2=(1,0,1)^T.
(A+5E)x=0 的基础解系为 a3=(-1,1,1)^T
A^-1+I 的属于特征值2的特征向量为 k1a1+k2a2, k1,k2不全为零
A^-1+I 的属于特征值4/5的特征向量为 k3a3, k3不为零