Question

柯西中值定理的证明

Answer 1

柯西中值定理的证明：

因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

扩展资料：

范例解析

用罗尔中值定理证明：方程

3

在 (0,1) 内有实根。

证明： 设

则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，

，所以由罗尔中值定理，至少存在一点

，使得

，所以

，所以ξ是方程

在 (0,1) 内的一个实根。

结论得证。