Question

如何用参数方程表示椭圆？

Answer 1

解：设椭圆上焦点F₁(0，c)，下焦点F₂(0，-c)；c为半焦距，c>0。

椭圆上的动点M(x，y)；依椭圆定义有等式：

∣MF₁∣+∣MF₂∣=√[x²+(y-c)²]+√[x²+(y+c)²]=2a，a为长半轴之长，a>0。

√[x²+(y-c)²]=2a-√[x²+(y+c)²]

两边平方得：x²+(y-c)²=4a²-4a√[x²+(y+c)²]+x²+(y+c)²化简、移项，得4a√[x²(y+c)²]=4a²+4c

化小系数得：a√[x²+(y+c)²]=a²+cy

再平方得：a²[x²+(y+c)²]=a^4+2a²cy+c²y²

a²x²+(a²-c²)y²=a^4-a²c²

令a²-c²=b²，得a²x²+b²y²=a²b²

再用a²b²除两边，即得焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：

y²/a²+x²/b²=1，其中a²-b²=c²；a>b.

其中a为长半轴之长，b为短半轴之长，c为半焦距。

扩展资料：

椭圆方程的几何性质

X，Y的范围

当焦点在X轴时 -a≤x≤a,-b≤y≤b

当焦点在Y轴时 -b≤x≤b,-a≤y≤a

对称性

不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。

顶点：

焦点在X轴时：长轴顶点：（-a，0），（a，0）

短轴顶点：（0，b），（0，-b）

焦点在Y轴时：长轴顶点：（0,-a），（0,a）

短轴顶点：（b,0），（-b,0）

注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。

焦点：

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c,0）F2(c,0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0,c)

计算方法

编辑

 

(（其中

 

分别是椭圆的长半轴、短半轴的长，可由圆的面积可推导出来)或

 

（其中

分别是椭圆的长轴，短轴的长）。

圆和椭圆之间的关系：

椭圆包括圆，圆是特殊的椭圆。

参考资料来源：百度百科--椭圆参数方程