Question

数学分析难在哪里？

Answer 1

难的不是数学分析，而是数学。要想学数学分析，就应该以自己从来都没有学过数学的态度来学，重新认识数学到底是什么。以下这些问题带有一定的接续性。

1. 关于实数： 为什么说实数集才是连续的或者没有缝隙的，有理数集不也是密密麻麻的？

 的最小上界。
2. 关于函数：说好的一个数只对应到一个数，那么有界集上的函数也就是有界函数了吗？


3. 关于极限：刚刚说过实数集是连续的。已知一个无穷小高于一阶，低于二阶，那么它一定有可以求出的阶吗？


4. 关于连续：首先，有没有各处都不连续的函数？其次，有没有定义在有界区间，有无限个不连续点，却不是处处不连续的函数？

Dirichlet 函数和 Riemann 函数。
5. 关于导数：可导必连续，但连续不一定可导。那么是否存在一个实数集上的可导函数，导数在某一点处不连续？


6. 关于积分：连续函数一定可积，有个别间断点的函数居然也一定可积，那么有无限个间断点的函数还可积吗？

Riemann 函数。
7. 关于反常积分：连无穷小函数的无穷积分都不一定收敛，那么不是无穷小的一定不收敛吗？甚至无界的，甚至无穷大的呢？

在每个区间  上，函数  在左半部分为  在右半部分为 
8. 关于级数：比反常积分容易，只有无穷小的级数才收敛。按理说两个无穷小乘起来是更高阶的无穷小，那是不是更得收敛了？


9. 关于函数项级数：接着上一条，在一个函数项级数的收敛域上取一个收敛数列，对应到函数列上得到的数列依然是无穷小吗？


10. 关于多元微分：听说多元函数的可微比可偏导严格多了。取一个在某一点处的所有方向导数都为零的函数，它总该可微了吧？


11. 关于重积分：有些重积分的积分区域决定了不容易将重积分化成累次积分，但是反观被积函数，仅仅是不容易化成而已吗？

 其中  且

12. 关于曲线曲面积分：某个积分在某个区域内路径无关，那么取每一点都在这个区域上的闭合回路，这个积分就是零了？


其中  是单位圆的逆时针。
13. 关于含参变量积分：既然求积分和求导数的变量不同，那么对积分求导数，不就是对导数求积分？这玩意还需要研究吗？

Answer 2

数学分析（微积分）是高等数学的基础课程，它涉及对函数、极限、导数、积分等概念的深入研究。虽然数学分析有其挑战性，但它也为更高级的数学和工程领域奠定了基础。以下是一些数学分析可能让初学者感到困难的方面：

1. 抽象思维：数学分析需要在较高的抽象层次上理解概念，这可能对初学者来说是一个挑战。例如，在微积分中，我们需要理解极限的概念，它将函数的局部性质与整体性质联系起来。

2. 复杂的计算：数学分析中的许多概念和定理需要进行大量的计算。这可能会让初学者感到压力和沮丧，因为他们需要在规定的时间内完成复杂的计算。

3. 连续性和一致性：在数学分析中，我们关注函数的连续性和一致性。这些概念需要理解并能够在实际问题中应用，这可能会让初学者感到困惑。

4. 多元函数和多变量分析：数学分析还涉及多元函数和多变量分析，这需要在多个维度上进行思考和分析。这对于初学者来说可能是一个挑战。

5. 符号和表示法：数学分析中的许多概念和定理使用特定的符号和表示法。初学者可能需要一段时间才能适应这些符号和表示法，从而影响他们对课程内容的理解。

6. 证明：数学分析中的许多定理和概念需要通过证明来理解。证明可能需要严格的逻辑推理和演绎，这对于初学者来说可能是一个挑战。

为了克服这些困难，初学者需要花时间去理解概念、定理和证明。同时，可以通过不断练习和解决实际问题来提高自己的数学分析能力。如果可能的话，寻求老师、同学或互联网资源的帮助也是一个好方法。

Answer 3

数学分析是数学中的一门基础课程，涉及微积分、极限理论、连续性、一元与多元函数等内容，是理工科、经济学等学科中的重要数学基础。以下是数学分析可能被认为比较困难的一些方面：

抽象性强：数学分析中的许多概念都是抽象的，需要深入理解和掌握，例如极限、连续性、导数、积分等概念。这些概念在数学分析的不同部分都有所体现，而且有些概念在实际应用中并不容易理解。
需要具备良好的代数技巧：数学分析中的计算过程需要灵活使用代数技巧，需要具备良好的代数基础和操作能力。例如，对复合函数的求导需要运用链式法则，对积分的计算需要使用部分分式分解等代数技巧。
对推理和证明要求高：数学分析需要深入理解数学概念，运用推理和证明来分析和解决问题。因此，学生需要具备良好的逻辑思维和推理能力，能够熟练地运用演绎推理、归纳推理和反证法等证明方法。
需要大量的练习和实践：数学分析是一门需要反复练习和实践的学科，需要通过大量的题目和实践来加深对概念和原理的理解和掌握。这就要求学生具备较强的自学能力和耐心，需要不断地练习和总结。
综上所述，数学分析作为数学中的基础课程，需要学生具备较强的数学基础和逻辑思维能力，需要花费大量的时间和精力来学习和掌握。

Answer 4

数学分析常被认为是数学中的一门难点，主要原因在于以下几个方面：

抽象性：数学分析涉及大量抽象概念和符号表示，需要学习者充分理解并掌握这些概念和符号的含义和用法。

逻辑性：数学分析涉及复杂的逻辑推导和证明过程，需要学习者具备深厚的逻辑思维能力和严密的证明技巧。

技术性：数学分析的计算方法和技巧相对较多，需要学习者熟练掌握各种求导、积分等技巧以及其应用。

深入性：数学分析研究的对象是数学中最基本的概念和定理，需要学习者对数学的基础知识有深入的理解和掌握。

因此，学习数学分析需要投入更多的时间和精力，同时也需要具备较强的数学素养和学习能力。

Answer 5

数学分析是数学的一个分支，它是建立在实数系统上的微积分学的基础。数学分析相对比较抽象和理论性强，所以对初学者较为困难，主要难点包括以下几个方面：
1.基础知识综合。数学分析需要掌握微积分、极限、连续性、微分方程等前置知识，对初学者的基础要求较高，初次学习时有时会感到比较吃力。
2.符号理解与运用。数学分析中使用的符号和表达方式比较繁琐和专业化，初学者需要熟悉各种符号和运算方式，理解其含义并能够熟练地运用。
3.逻辑推理与证明方法。数学分析强调逻辑思维和证明方法，对初学者的思维逻辑能力和证明能力提出了较高的要求。初学者需要透彻理解数学概念，熟练掌握数学定理，熟悉不同证明方法，并能够运用这些知识解决实际问题。
4.观念转变。数学分析理论上来说比较晦涩，需要初学者具备超前的抽象思维和观念转变的能力，可以熟练运用数学分析的工具，学会在实际问题中运用数学方法，解决问题。
总之，数学分析需要在基本数学概念的基础上，掌握复杂的数学运算、符号和推理方法等，对初学者而言，需要耐心地学习，不断练习，理论与实践并重，才能够真正掌握数学分析的知识和技能。