Question

数学分析难在哪里？

Answer 1

数学分析是数学中的一门重要的基础学科，它主要研究函数、极限、微积分、级数等数学概念和方法。虽然数学分析在数学中占有重要的地位，但是也是让很多人感到困难的学科。那么，数学分析为什么难呢？本文将从以下几个方面来探讨。

一、抽象性强

数学分析作为一门抽象的学科，其概念和方法都是以数学符号和公式的形式呈现的，这就要求学生具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。同时，数学分析中很多概念和定理都是建立在基础的数学知识之上的，因此，如果学生在基础知识上不扎实，就会在学习数学分析时感到吃力。

二、概念理解困难

数学分析中有很多概念，例如极限、导数、积分等，这些概念是数学分析中最基础的概念，也是学习数学分析的关键所在。但是，这些概念的理解却是非常困难的。例如，极限是指函数在某个点无限趋近于某个值，但是要理解这个概念就需要对数列的极限、函数的极限、单侧极限等有深入的理解，这就需要学生具备扎实的基础知识和逻辑思维能力。

三、计算技巧要求高

数学分析中的计算技巧要求非常高，需要掌握各种复杂的计算方法和技巧。例如，微积分中的求导、积分、微分方程等计算都需要掌握一定的技巧和方法。这些技巧和方法的掌握需要大量的练习和实践，如果学生没有足够的时间和精力去练习，就会感到困难。

四、抽象符号的运用

数学分析中大量使用符号和公式来表达概念和定理，这就要求学生掌握一定的符号运算能力。例如，学生需要掌握如何进行符号运算、如何推导证明等。这些技能的掌握需要学生有一定的数学思维和逻辑思维能力。

总之，数学分析作为一门重要的数学基础学科，其难点主要集中在抽象性强、概念理解困难、计算技巧要求高以及抽象符号的运用等方面。因此，学生在学习数学分析时需要认真对待，注重基础知识的学习和逻辑思维能力的培养，才能更好地掌握数学分析的知识和技能。

Answer 2

难的不是数学分析，而是数学。要想学数学分析，就应该以自己从来都没有学过数学的态度来学，重新认识数学到底是什么。以下这些问题带有一定的接续性。
1. 关于实数： 为什么说实数集才是连续的或者没有缝隙的，有理数集不也是密密麻麻的？
\left\{x:x^2<2\right\} 的最小上界。
2. 关于函数：说好的一个数只对应到一个数，那么有界集上的函数也就是有界函数了吗？
f\left(x\right)=\frac1x\left(x\in\left(0,1\right)\right).
3. 关于极限：刚刚说过实数集是连续的。已知一个无穷小高于一阶，低于二阶，那么它一定有可以求出的阶吗？
f\left(x\right)=\frac{x}{\ln x}\left(x\to 0^+\right).
4. 关于连续：首先，有没有各处都不连续的函数？其次，有没有定义在有界区间，有无限个不连续点，却不是处处不连续的函数？
Dirichlet 函数和 Riemann 函数。
5. 关于导数：可导必连续，但连续不一定可导。那么是否存在一个实数集上的可导函数，导数在某一点处不连续？
f\left(x\right)=\begin{cases}x^2\sin\left(1/x\right),&x\ne 0,\\0,&x=0.\end{cases}
6. 关于积分：连续函数一定可积，有个别间断点的函数居然也一定可积，那么有无限个间断点的函数还可积吗？
Riemann 函数。
7. 关于反常积分：连无穷小函数的无穷积分都不一定收敛，那么不是无穷小的一定不收敛吗？甚至无界的，甚至无穷大的呢？
在每个区间 \textstyle\left[\sum_{k=1}^{n-1}\frac2k,\sum_{k=1}^{n}\frac2k\right) 上，函数 f 在左半部分为 n, 在右半部分为 -n.
8. 关于级数：比反常积分容易，只有无穷小的级数才收敛。按理说两个无穷小乘起来是更高阶的无穷小，那是不是更得收敛了？
x_n=y_n=\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\sqrt n}.
9. 关于函数项级数：接着上一条，在一个函数项级数的收敛域上取一个收敛数列，对应到函数列上得到的数列依然是无穷小吗？
\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{1+nx},\quad x_n=\frac1n.
10. 关于多元微分：听说多元函数的可微比可偏导严格多了。取一个在某一点处的所有方向导数都为零的函数，它总该可微了吧？
f\left(x,y\right)=\begin{cases}x^2y/{\sqrt{x^6+y^3}},&x^2+y^2\ne0,\\0,&x^2+y^2=0.\end{cases}
11. 关于重积分：有些重积分的积分区域决定了不容易将重积分化成累次积分，但是反观被积函数，仅仅是不容易化成而已吗？
\textstyle\iint_Df\left(x,y\right)\mathrm dx\mathrm dy, 其中 D=\left[0,1\right]\times\left[0,1\right], 且
f\left(x,y\right)=\begin{cases}x,&x=1/k,\ y\in\mathbb Q,\ k\in\mathbb N^*,\\0,&\mathrm{others}.\end{cases}
12. 关于曲线曲面积分：某个积分在某个区域内路径无关，那么取每一点都在这个区域上的闭合回路，这个积分就是零了？
\oint_l\frac{x\mathrm dy-y\mathrm dx}{x^2+y^2},
其中 l 是单位圆的逆时针。
13. 关于含参变量积分：既然求积分和求导数的变量不同，那么对积分求导数，不就是对导数求积分？这玩意还需要研究吗？
I\left(x\right)=\int_0^{\infty}\frac{\sin xy}{y}\mathrm dy.

Answer 3

数学分析是高等数学的重要分支，以极限、导数、积分等概念为核心，以构建和应用数学模型为目标。与初等数学相比，数学分析要求更高的抽象思维、逻辑思维和数学素养，因此对许多人来说，数学分析的学习可能存在以下几个难点：
1. 抽象概念理解难度高：数学分析涉及到一些较为抽象的概念，如极限、连续、导数、积分等，需要学生具有较强的数学抽象思维能力和对数学对象的直观感性认识，对于初学者来说，这些概念的理解可能会存在较大的难度。
2. 证明方法复杂：数学分析的证明方法通常是逻辑论证，需要学生具有较强的逻辑思维和证明能力。证明一个定理通常需要从已知出发，逐步推导得到结论，这个过程有时需要运用到多个定理和性质，而且证明过程可能相对枯燥乏味，需要耐心。
3. 计算难度较大：数学分析的计算内容通常较为复杂，需要学生具备较强的分析和计算能力。例如，计算导数、积分、级数等，需要一定的技巧和方法。
如何应对这些问题呢？
1. 建立数学概念的联想：利用类比和具体图形联想等方法，帮助理解抽象概念，直观地感受和理解这些概念。
2. 多看范例与证明：通过观看一些经典的教材或者优秀的论文，以及自己的思考，尝试归纳经验，寻找证明方法和规律。
3. 加强计算技巧训练：通过解决一些典型的例题来提高分析计算能力，加强分析技巧和思考能力，培养解题的自信心。
4. 善于总结和归纳：建立自己的笔记和总结，把常用的公式、性质、定理整理到同一材料中，便于快速查阅和使用。

Answer 4

数学分析是数学中的一门基础学科，是研究实数、复数及其函数的性质、极限、连续性、微积分、级数等内容的学科。虽然数学分析的内容十分广泛，但它仍然是许多数学专业的入门课程。数学分析的难点主要有以下几个方面：

抽象性强。数学分析的概念和定理通常是抽象的，需要学生具备很高的抽象思维能力。例如，学生需要理解极限的定义，掌握连续函数的性质，了解导数和微分方程等。

计算复杂。数学分析的计算通常比较复杂，需要学生具备扎实的数学功底和较高的计算能力。例如，计算某些函数的导数、积分、级数等，需要熟练掌握计算技巧。

抽象定理较多。数学分析中有许多重要的定理和定理的证明，需要学生具备较强的证明能力和逻辑思维能力。例如，中值定理、泰勒公式、黎曼积分等都需要学生掌握证明方法。

理解困难。数学分析中的概念和定理较为抽象，需要学生具备较强的数学直觉和理解能力。例如，理解连续函数的性质和极限的概念需要学生进行深入的思考和理解。

考试难度大。数学分析通常是考试中的难点之一，需要学生具备较强的应试能力和心理素质。考试中通常会有一些比较复杂的计算和证明题目，需要学生具备高效的解题能力和应对压力的能力。

总之，数学分析作为数学的一门基础学科，难度比较大，需要学生具备很高的抽象思维能力、数学功底和证明能力。只有通过不断的学习和练习，才能掌握数学分析的知识和方法，提高自己的数学水平。

Answer 5

数学分析难在以下几个方面：
①高维度：数学分析涉及到的概念、理论、方法都是比较高维度的，比如极限、连续、导数、微积分、多元函数等等，这些概念从初中开始接触，但是到了数学分析这里，就需要从更高的维度来理解，对思维能力的要求比较高。
②抽象性：数学分析的概念、理论都比较抽象，比如极限、连续、导数、微积分等等，这些概念通过公式和定义来描述，但是这些定义本身比较抽象，需要通过一些例子和习题来帮助理解，否则很容易出现思维断层。
③应用广泛：数学分析在自然科学、社会科学、工程科学等领域都有广泛的应用，尤其是在物理学、工程学、计算机科学等领域，需要运用数学分析的知识来解决实际问题，因此，对于数学分析的掌握程度直接影响到学生的综合素质和应用能力。
④技巧性强：数学分析除了基本概念和理论外，还有很多技巧性的东西，比如极限的四则运算、求导的各种公式和法则、积分的各种公式和法则等等，这些都需要通过大量的练习和训练来熟练掌握。
总之，数学分析是一门比较抽象、难懂的学科，需要学生具备较高的思维能力和扎实的基础知识，同时还需要大量的练习和训练来提高技巧性和应用能力。