积分∫AX/(1+X)^4=1,x的范围是0到正无穷,求A的表示式
积分∫AX/(1+X)^4=1,x的范围是0到正无穷,求A的表示式
先计算积分：
∫[0→+∞] x/(1+x)^4 dx
=-(1/3)∫[0→+∞] x d[1/(1+x)³]
分部积分
=-(1/3)x/(1+x)³ + (1/3)∫[0→+∞] 1/(1+x)³ dx
=-(1/3)x/(1+x)³ - (1/3)(1/2)[1/(1+x)²] |[0→+∞]
=1/6
再由：A∫[0→+∞] x/(1+x)^4 dx=1，因此得到A=6。
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f(x)=1/3x^3-x^2+ax-5在区间[-1,2]上有反函式，则a的范围是（ ） A.(负无穷，正无穷 ) B[1,正无穷）
f(x)=1/3x^3-x^2+ax-5
f'(x)=x^2-2x+a=(x-1)^2+(a-1)>0或
f'(x)=x^2-x+a=(x-1)^2+(a-1)<0
x∈{-1,2},(x-1)^2∈{0,4}
为使f'(x)恒正，或恒负
应使a-1<-4或a-1>0
选D
反常（广义）积分 xe^(-x^2) 范围是0到正无穷
反常（广义）积分 xe^(-x^2) 范围是0到正无穷 =∫-1/2e^(-x^2)d(-x^2)=-1/2e^(-x^2)(下标O，上标+无穷大）=-1/2(1/e)^x^2(下标0，上标+无穷大）=0+1/2=1/2
积分0到正无穷dx/（1+X^2）^2
解：设x=tanα,则当x=0时，α=0.当x=+∞时，α=π/2
∴原式=∫(0,π/2)sec²αdα/(sec²α)² (∫(0,π/2)表示从0到π/2积分)
=∫(0,π/2)cos²αdα
=1/2∫(0,π/2)[1+cos(2α)]dα
=1/2[α+sin(2α)/2]|(0,π/2)
=1/2(π/2+0)
=π/4
定积分0到正无穷的∫1/(1+x^2)(1+x^a)dx ，（a>0）
思路：将积分写为从0到1和从1到无穷的积分，对第二个积分
做变数替换x＝1/t，化简后再换回变数x，会发现两个被积函式的和与a无关，
积分值由此可以求出。
=积分(从0到1)dx/(1+x^2)(1+x^a)+积分(从1到无穷)dx/(1+x^2)(1+x^a)
＝积分(从0到1)dx/(1+x^2)(1+x^a)+积分(从0到1)x^adx/(1+x^2)(1+x^a)
＝积分(从0到1)dx/(1+x^2)
＝pi/4。
已知f(x)的定义域0正无穷,f(x)=2f(1/x)乘以根号(x)-1,求f(x)的表示式
用1/x代x，有
f（1/x）=2f（x）*根号1/x-1
代入f(x)=2f(1/x)*根号(x)-1，得
f(x)=2（2f（x）*根号1/x-1）*根号(x)-1
即f（x）=2/3*根号x-1/3
S 0到正无穷1/X（1+X）^2 dx ，S为积分号
看了你另外一个提问，应该是从1积到正无穷吧？~
求S(1,正无穷)[1/x(1+x)²]dx
1/[x(1+x)²]=[1/x]-[1/(1+x)]-[1/(1+x)²]
所以
S(0,正无穷)[1/x(1+x)²]dx
=[ln(x)-ln(1+x)+(1/(1+x)](1,正无穷)
=[ln(1/((1/x)+1))+(1/(1+x))](1,正无穷)
=[ln(1/(0+1))+0]-[ln(1/2)+1/2]
=-ln(1/2)+(1/2)
=(ln2)-(1/2)
广义积分∫ (正无穷,0) x/(1+x)^3 dx
广义积分∫ (正无穷,0) x/(1+x)^3 dx
=∫ (正无穷,1)(x-1)/x^{3}dx
=∫ (正无穷,1)(x^{-2}-x^{-3})dx
=(-x^{-1}+1/2x^{-2}) | (正无穷,1)
=1/2
求1/[(1+x)(1+x2)]在(0,正无穷)上的定积分
pi/8
令x=1/t,换元后有：
∫t/[(1+t)(1+t^2)]dt 积分限不变
所以，这个换元后的式子和原始的相加有：
(1/2)I=∫1/(1+x^2)dx 积分限0到∞
得：I=(1/2)arctanx 代人积分限有
I=pi/8
1/x的从0到正无穷积分
是+无穷，lnx，x趋于0时取负无穷，趋于正无穷时取正无穷，故是正无穷。
