Question

三维空间里的两条直线相交如何求夹角？

Answer 1

空间任意平面与个坐标面的夹角, 可通过该平面法向量与各坐标面法向量经由余弦公式求得。

求解步骤如下:

一般性约定, 在空间坐标系Oxyz中, 2x-2y+z+5=0为其空间下的一个面P, 则有:

(1) 面P的法向量为其公式的参数(2,-2,1);

(2) Oxy的法向量为(0,0,1), Oyz的法向量为(1,0,0), Oxz的法向量为(0,1,0);

(3) 根据夹角余弦公式: cosφ=A1A2+B1B2/[√(A1^2+B1^2)√(A2^2+B2^2)] (详情见扩展阅读)可得:

Oxy面与面P的夹角余弦为: (0x2+0x-1+1x1)/√(2^2+(-2)^2+1^2)=1/√9=1/3。

同理可得,

Oyz面与面P的夹角余弦为2/3。

Oxz面与面P的夹角余弦为2/3。

其面P表述为一个三维平面如下:

扩展阅读: 

A1X+B1Y+C1=0........(1)

A2X+B2Y+C2=0........(2)

则(1)的方向向量为u=(-B1,A1)，(2)的方向向量为v=(-B2,A2)

由向量数量积可知，cosφ=u·v/|u||v|，即

两直线夹角公式：cosφ=A1A2+B1B2/[√(A1^2+B1^2)√(A2^2+B2^2)] 

注：k1,k2分别L1,L2的斜率,即tan(α-β)=（tanα-tanβ）/（1+tanαtanβ）

参考资料:  百度百科 - 夹角公式