Question

y'-y=x²是齐次方程吗？

Answer 1

y'-y=x²是一个非齐次一阶线性微分方程，因为它具有非线性x²项。齐次方程是指形如y' + P(x)y = 0的一阶线性微分方程，其中P(x)是x的函数，不含y和y'。齐次方程中的等式右边为0，即方程的非齐次项为0。而对于y'-y=x²这个方程来说，等式左边的y'-y不为0，所以它不是齐次方程。需要注意的是，齐次和非齐次方程的求解方法不同，齐次方程可以用变量分离法来求解，而非齐次方程则需要采用特殊的方法，例如常数变易法或者待定系数法等来求解。

Answer 2

y'-y=x²是非齐次线性微分方程，因为它的右侧有非零项 x²。一个线性微分方程如果形式为 y' + p(x)y = q(x)，其中 p(x) 和 q(x) 均为已知函数，则称为非齐次线性微分方程。而如果 q(x) = 0，即无右侧非零项，则称为齐次线性微分方程。对于非齐次线性微分方程，需要使用一些特定的求解方法，如常数变易法、Lagrange 常数变易法、对角矩阵法等，以得到其精确解。在求解前，需要区分非齐次线性微分方程和齐次线性微分方程，以选择合适的求解方法来求解。

Answer 3

y'-y=x²这个微分方程不是齐次方程，因为它的右端项x²不等于0且不是y的函数形式的常数倍，而齐次方程右端项为0或是y的函数形式的常数倍。一个微分方程是否为齐次方程，可以通过把所有系数和变量统一化，化简成标准形式来确定。比如，对于y'+3xy = 1 这个方程，可以通过将y=ux代入，消去x和y之间的耦合项，得到u'+(3x-1)u=0，此时就是一个齐次方程，可以使用一些特定的方法求解。

Answer 4

不是齐次方程。因为该方程中存在常数项x²，而齐次方程中的常数项必须为0。

Answer 5

是的，它是一个二次齐次方程。