Question

y的2阶导数等于1/x求他的通解

Answer 1

根据题意，有：
y" = d(y')/dx = 1/x
则可以得到：
d(y') = dx /x
两边同时积分，可以得到：
∫d(y') = ∫dx /x
y' = lnx + C1
即：
y' = dy/dx = lnx + C1
那么：
dy = (lnx + C1) * dx
两边再同时积分，可以得到：
∫dy = ∫(lnx + C1) dx
= ∫(lnx)dx + C1 * ∫dx
= ∫(lnx)dx + C1 * x
对于积分 ∫(lnx)dx，需要使用分部积分法：
设 u = lnx，dv = dx。则 du = (1/x) * dx，v = x。那么：
∫(lnx)dx = ∫u * dv
= uv - ∫v * du
= x * lnx - ∫x * (1/x) dx
= x(lnx) - ∫dx
= x(lnx) - x + C
所以：
y = x(lnx) - x + C + C1 * x
= x(lnx) + (C1 - 1)x + C
= x(lnx) + C2 * x + C
注：其中 C、C1、C2 都表示为常数。

Answer 2

y''=1/x
y'=lnC₁x
y=xlnC₁x-x+C₂