Question

可逆矩阵的特征值有几个?

Answer 1

对于一个可逆矩阵，其特征值一定存在且不为0，因此有n个不为0的特征值，其中n为矩阵的阶数。这是因为如果一个n阶可逆矩阵A有一个特征值λ=0，那么有Ax=λx，其中x为非零向量，那么就有Ax=0x，即矩阵A有非零的零空间，与可逆矩阵的性质相矛盾。
因此，可逆矩阵的特征值都是非零的，且一定存在n个特征值，可能重复。它的特征向量也会存在，并可以构成一个线性无关的特征向量组。矩阵A的特征值是指一个标量λ，使得矩阵A与λ乘以单位矩阵I的差值为一个奇异矩阵，即：
A - λI = 0
其中，I为单位矩阵，0为零矩阵。
当矩阵A为可逆矩阵时，由于可逆矩阵的逆矩阵存在，我们可以将上式两边同时乘上A的逆矩阵A^-1，得到：
A^-1(A - λI) = 0
=> A^-1A - λA^-1I = 0
=> I - λA^-1 = 0
由于A为可逆矩阵，所以A^-1也存在，那么上式右侧不为零的条件是λ不为零，因此可逆矩阵的特征值都是非零的。同时，当λ满足上式右侧不为零时，左侧的矩阵I-λA^-1是非奇异矩阵，即存在逆矩阵，我们可以将上式两边同时乘上(A-λI)，得到：
(A-λI)(I-λA^-1) = 0
因此，(I-λA^-1)不为零矩阵的条件是矩阵(A-λI)为奇异矩阵，即矩阵A存在特征向量x使得Ax=λx。因此，一个可逆矩阵A拥有n个特征值，可能重复，对应它的特征向量可以构成一个线性无关的特征向量组。

Answer 2

|A| = 1 · 2 · 3 = 6

A* = |A|A^(-1) = 6A^(-1)

(A*)^2 + E = 36A^(-2) + E 的特征值分别是

36 · 1^2 + 1 = 37

36 / 2^2 + 1 = 10 

36 / 3^2 + 1 = 5 

最大特征值 37

简介

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。