Question

微观经济学问题，求详细解答

假设一个消费者的偏好是由效用函数表示

U(x, y) =- 1/x-1/y
商品x的价格是px，商品y的价格是py，消费者有m用来消费。
a)将消费者对商品的x的需求列作px、py和m的函数
b)计算对商品x的需求的价格弹性。
c)计算商品x的收入弹性。
d)商品x是正常商品还是下级的商品？

Answer 1

a) 消费者在预算约束下的最大化效用问题可以表示为：
max U(x,y) = -1/x - 1/y
s.t. px * x + py * y <= m
使用拉格朗日乘数法求解，可以得到消费者对x的需求函数为：
x*(px,py,m) = m * (1/px - 1/py)
b) 需求函数对价格的弹性公式为：
ε = (%Δx / %Δpx) * (px / x)
需要先求出需求函数对价格的一阶导数：
dx/dpx = m / px^2 - m / (px * py)
= m * (py - px) / (px^2 * py)
将其带入弹性公式中，得到商品x的价格弹性为：
ε = (%Δx / %Δpx) * (px / x)
= (px/x) * (dx/dpx) * (1/px)
= - (py / (py - px))
c) 商品x的收入弹性为：
εm = (%Δx / %Δm) * (m / x)
求需求函数关于收入的一阶导数：
dx/dm = 1/px
将其代入收入弹性公式中，得到商品x的收入弹性为:
εm = (%Δx / %Δm) * (m / x)
= x/m
= 1 / (px * (1/py - 1/(px)))
d) 对于正常商品，其收入弹性系数是正数，而对于下级商品（劣等品），其收入弹性系数为负数。由上式可知，商品x的收入弹性系数为正，因此商品x是一个正常商品。