Question

x²/a²+2bxy++y²/c²=1的椭圆方程长半轴求解

一般椭圆方程的长短半轴求解

Answer 1

首先，我们需要将椭圆方程标准化，使得它的形式为

(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1

其中，(h, k) 是椭圆的中心，a 和 b 分别是椭圆的长半轴和短半轴。为了将原方程标准化，我们需要完成以下步骤：

• 将 x² 和 y² 的系数都归一化为 1，除以等式两边的常数项，得到

(x²/a²) + (2bxy)/(ac) + (y²/c²) = 1/1

• 通过配方，将二次项交叉项转化为完全平方项：

(x²/a²) + (2bxy)/(ac) + (y²/c²) = 1

(x²/a²) + (2bxy)/(ac) + (b²/a²)(y²/c²) - (b²/a²)(y²/c²) = 1

((x + (b/c)y)²/a²) - ((b/c)²)(y²/c²) = 1

• 现在我们已经将方程标准化了，可以看出中心位于 (h, k) = (0, 0) 处，长半轴 a = c/√(1-(b/c)²)，短半轴 b = a√(1-(b/c)²)。

因此，长半轴为 a = c/√(1-(b/c)²) = √(c²-b²)。注意，这里要求 b < c，否则应该使用短半轴的公式计算。

因此，原方程的长半轴为 √(c²-b²)。