Question

三分之sinθ加根号三分之cosθ为什么小于等于根号1/9+1/3？

Answer 1

要证明三分之 sinθ 加根号三分之 cosθ 小于等于根号 1/9 + 1/3，我们可以进行以下推导：
首先，我们将右侧的根号 1/9 + 1/3 进行化简：
√(1/9 + 1/3) = √(4/9) = 2/3
现在，我们将左侧的三分之 sinθ 加根号三分之 cosθ 进行求值：
1/3 sinθ + √(1/3 cosθ)
我们可以使用三角恒等式 sin²θ + cos²θ = 1 来简化根号内的表达式。将其代入原始表达式中：
1/3 sinθ + √(1 - sin²θ)
然后，我们将两个部分的共同分母取为3，并作为一个整体进行计算：
(1 + √(3 - 3sin²θ))/3
为了证明左侧小于等于右侧，我们只需证明 (1 + √(3 - 3sin²θ))/3 ≤ 2/3。
通过进一步推导，我们可以得到：
1 + √(3 - 3sin²θ) ≤ 2
√(3 - 3sin²θ) ≤ 1
3 - 3sin²θ ≤ 1
sin²θ ≥ 2/3
由于正弦函数在 [0, π/2] 范围内是递增的，所以 sin²θ ≥ 2/3 在该范围内成立。
综上所述，我们得出三分之 sinθ 加根号三分之 cosθ 小于等于根号 1/9 + 1/3 的结论。

Answer 2

因为(1/3)sinθ+(1/√3)cosθ=
=（2/3)［(1/2)sinθ+(√3/2)cosθ］
=(2/3)sin(60°+θ）≤2/3；
而√(1/9+1/3)=√(4/9)=2/3,所以
（1/3)sinθ+(1/√3)cosθ≤√(1/9+1/3）。