Question

求函数+z=x^3+x^2y+y^2+在点(2,1)处的偏导数.

Answer 1

要求函数 $z = x^3 + x^2y + y^2$ 在点 (2, 1) 处的偏导数，我们需要分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数。偏导数表示函数在某一变量上的变化率。
首先，对 $x$ 求偏导数，将 $y$ 视为常数。对于 $x^3$，我们可以应用幂函数的求导法则，得到 $\frac{\partial}{\partial x} (x^3) = 3x^2$。对于 $x^2y$，$y$ 视为常数，所以 $\frac{\partial}{\partial x} (x^2y) = 2xy$。对于常数项 $y^2$，其偏导数为 0。

因此，对于 $z = x^3 + x^2y + y^2$，对 $x$ 求偏导数后得到 $\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + 2xy$。

接下来，对 $y$ 求偏导数，将 $x$ 视为常数。对于 $x^2y$，$x$ 视为常数，所以 $\frac{\partial}{\partial y} (x^2y) = x^2$。对于 $y^2$，应用幂函数的求导法则，得到 $\frac{\partial}{\partial y} (y^2) = 2y$。对于常数项 $x^3$，其偏导数为 0。

因此，对于 $z = x^3 + x^2y + y^2$，对 $y$ 求偏导数后得到 $\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 2y$。

将点 (2, 1) 代入上述偏导数表达式中，我们可以得到在该点处的偏导数值：

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3(2)^2 + 2(2)(1) = 12 + 4 = 16$

$\frac{\partial z}{\partial y} = (2)^2 + 2(1) = 4 + 2 = 6$

因此，在点 (2, 1) 处的偏导数为 $\frac{\partial z}{\partial x} = 16$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 6$。

Answer 2

函数 z = x^3 + x^2y + y^2。在点 (2,1) 处，其对应的偏导数为：
∂z/∂x = 3x^2 + 2xy
在点 (2,1) 处，∂z/∂x = 3(2)^2 + 2(2)(1) = 16。
∂z/∂y = x^2 + 2y
在点 (2,1) 处，∂z/∂y = (2)^2 + 2(1) = 6。
因此，在点 (2,1) 处，函数 z = x^3 + x^2y + y^2 的偏导数分别为 ∂z/∂x = 16 和 ∂z/∂y = 6。