求微方程y¹+y¹+y=e³+x²的通解
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y''+y'+y = e³ + x²
特征方程 r^2 + r + 1 = 0, 特征根 r = (-1/2)±i(√5/2)
设特解 y = ax^2 + bx + c, 代入微分方程
2a + 2ax+b + ax^2+bx+c = e³ + x²,
得 a = 1, b+2a = 0, c+2a+b = e^3
a = 1, b = -2, c = e^3
则得通解
y = e^(-x/2)[C1cos(√5/2)x + C2sin(√5/2)x] + x^2-2x+e^3
特征方程 r^2 + r + 1 = 0, 特征根 r = (-1/2)±i(√5/2)
设特解 y = ax^2 + bx + c, 代入微分方程
2a + 2ax+b + ax^2+bx+c = e³ + x²,
得 a = 1, b+2a = 0, c+2a+b = e^3
a = 1, b = -2, c = e^3
则得通解
y = e^(-x/2)[C1cos(√5/2)x + C2sin(√5/2)x] + x^2-2x+e^3
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