Question

根号下1+e^x 的不定积分

Answer 1

解:由题意可得:令t=1+e^x,所以x=ln(t-1)其中t>1
原式=∫√（1+e^x)dx=∫√t/(t-1)dt=∫√t/(t-1)d(t-1)
=∫(√t+1-1/(√t-1)(√t+1)d(t-1)
=∫[1/(√t-1)-1/(t-1)]d(t-1)
分别分析两个不定积分
第一个积分 ∫[1/(√t-1)d(t-1)=∫[1/(√t-1)d(√t+1)(√t-1)
令√t-1=a,则√t=a+1代人可得上式)=∫[1/ada(a+2)=
∫(2/a+2)da=2lna+2a+C,将a=√t-1代人可得2ln(√t-1)+2(√t-1)+C
第二个积分∫1/(t-1)d(t-1)=ln(t-1)+C
两者相减得2ln(√t-1)+2(√t-1)+C-ln(t-1)
将t=1+e^x代人有2ln[√(1+e^x)-1]+2[√(1+e^x)-1]-lne^x+C
=2ln[√(1+e^x)-1]+2[√(1+e^x)-1]-x+C
所以=∫√（1+e^x)dx=2ln[√(1+e^x)-1]+2[√(1+e^x)-1]-x+C

Answer 2

e^x=(tgt)^2,[根号下1+e^x]dx=2sectdlntgt=[2(cost)^2*sint]^(-1)dt
=-[(cost)^2*(1-(cost)^2)]^(-1)dcost
cost=u,原等价=积分号:u^(-2)*(1-u^2)^(-1)du
下面把分母拆开成两项,分别积分,我不写了

Answer 3

我来吧，令t=根号(1+e^2)
则x=ln(t^2-1) dx=2t/(t^2-1)dt
原式等于 （积分我用[ 表示） [ t*dx dx用上面的代进来
得到[2+2/(t^2-1)dx =[2dt + [2/(t^2-1)dt
第一个积分好求，第二个积分把它转化为 [2/(t+1)(t-1)dt =[1/(t-1)-1/(t+1)dt = [1/(t-1)d(t-1)-[1/(t+1)d(t+1)
= ln|t-1| - ln|t+1| + c 最后把他们都带回去好了。

因为有这个公式 1/(t^2-a^2)=1/2a * (1/(t-1)-1/(t+1))