<ADB=<BEC,
∴三角形DAB相似于三角形EBC
∴AB/BC=AD/BE,
<DAB=<EBC,<DBA=<C,
∴AD//BE,BD//CE,
∴DF/BF=AD/BE,
∴AB/BC=DF/BF。
(2)证明:
【证明思路】
第一问证明:(1)应从ΔADB和ΔBEC这两三角形着手。由于ΔADB和ΔBEC是等腰三角形,且ΔADB∽ΔBEC,可以推断 BE/AD=BC/AB。
(2)再从ΔAFD和ΔBFE这两个三角形着手。如证明了这两个三角形是相似的,就可推断DF/BF=AB/BC。
第二问证明:运用反证法。假设DF=BE,又已知∠ADF=∠FBE,∠AFD=∠BFE ==》ΔAFD∽ΔBFE,==》 BE/AD=BF/DF ==》BE²=BF·AD==》BE²=BF·BD
【证明过程】
第一问证明:
证:由于ΔADB和ΔBEC是等腰三角形,且ΔADB∽ΔBEC(边,角,边),根据相似三角形的性质,可得 BE/AD=BC/AB。
又知∠AFD=∠BFE(对顶角),∠ADF=∠EBF=α,由于ΔADB和ΔBEC的底边与AC共线,则有AD∥BE,可以∠AFD=∠BFE(内错角),所以ΔAFD∽ΔBFE。
根据相似三角形的性质,可得 DF/BF=AD/BE
由此得到,DF/BF=AD/BE=AB/BC。[证毕]
第二问证明:
假设DF=BE,又已知∠ADF=∠FBE=α,∠AFD=∠BFE (对顶角),所以ΔAFD∽ΔBFE(角,边,角)。
根据相似三角形的性质,可得 BE/AD=BF/DF
BE²=BF·AD
因AD=DB(等腰三角形),所以
BE²=BF·BD
假设成立。当BE²=BF·BD,则有 DF=BE。
[证毕]
【本题知识点】
1、反证法,亦称“逆证”,是间接论证的方法之一,是通过断定与论题相矛盾的判断(即反论题)的虚假来确立论题的真实性的论证方法。
反证法的论证过程如下:首先提出论题:然后设定反论题,并依据推理规则进行推演,证明反论题的虚假;最后根据排中律,既然反论题为假,原论题便是真的。在进行反证中,只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题,论题的反对判断是不能作为反论题的,因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。
2、相似三角形。三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定定理。
1). 两角分别对应相等的两个三角形相似。
2). 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3). 三边成比例的两个三角形相似。
4). 一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形性质。
1). 相似三角形对应角相等,对应边成比例。
2). 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
3). 相似三角形周长的比等于相似比。
4). 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5). 相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同,内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
3、对顶角。两条直线相交时会产生一个交点,并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说,其中的一个角是另一个的对顶角。
定理:两直线相交,对顶角相等。
4、内错角。两条直线被第三条直线所截,两个角分别在截线的两侧,且夹在两条被截直线之间,具有这样位置关系的一对角叫做内错角。
定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。(两直线平行,内错角相等。)
逆定理:内错角相等,两直线平行。
5、等腰三角形。等腰三角形,是指至少有两边相等的三角形。相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中,相等的两条边称为这个三角形的腰,另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。