Question

如何用法向量求二面角？

Answer 1

球面某点的法线：若过该点的直线与过该点的切线垂直，则该直线为球面某点的法线。如果球心坐标知道，只要将球心坐标与该点坐标相减，即为球面某点的法向量。

如果已知直线与平面垂直，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x，y，z)，然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1，y1，z1)和 CD(x2，y2，z2)。

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角（一般只求出正弦值即可）：求出平面法向量和斜线的一边，然后联立方程组，可以得到角度的余弦值，根据公式Sinα=|Cosα|。利用这个原理也可以证明线面平行。

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角，这个角与二面角相等或互补。

3、点到面的距离： 任一斜线(平面上一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离。